معمای المپیادی: کشف بیشینه مساحت مستطیل با مجموع مساحت و محیط 140

بیشینه مساحت مستطیل المپیادی یکی از مسائل جذاب در دنیای ریاضیات است که ذهن بسیاری از علاقه‌مندان به حل معماها و مسائل المپیادی را به خود مشغول می‌کند. این نوع مسائل نه تنها قدرت حل مسئله را تقویت می‌کنند، بلکه درک عمیق‌تری از مفاهیم هندسی و جبری را نیز به ارمغان می‌آورند. در این مقاله، به بررسی یک معمای خاص می‌پردازیم که در آن مجموع مساحت و محیط یک مستطیل مشخص شده و از ما خواسته می‌شود تا حداکثر مساحت ممکن برای آن را بیابیم.

معمای پیش رو، چالشی است که نیازمند به‌کارگیری دانش پایه در زمینه فرمول‌های مساحت و محیط مستطیل و همچنین تکنیک‌های بهینه‌سازی است. با در دست داشتن مجموع مساحت و محیط، چگونه می‌توانیم به بیشترین مقدار مساحت دست یابیم؟ این مسئله، دریچه‌ای به سوی درک روابط بین ابعاد مختلف یک شکل هندسی و تأثیر آن‌ها بر مساحت و محیط باز می‌کند و حل آن می‌تواند بسیار آموزنده باشد.

معرفی مسئله: مجموع مساحت و محیط مستطیل

فرض کنید مستطیلی با طول ‘a’ و عرض ‘b’ داریم. مساحت این مستطیل برابر است با A = a * b و محیط آن برابر است با P = ۲ * (a b). در این معمای المپیادی، مجموع مساحت و محیط مستطیل برابر با ۱۴۰ واحد داده شده است. یعنی:

a * b 2 * (a b) = 140

هدف ما این است که مقدار ‘a * b’ (مساحت) را به حداکثر برسانیم، با توجه به شرط فوق.

راهبرد حل معما: تبدیل و بهینه‌سازی

برای حل این مسئله، ابتدا باید معادله داده شده را بازنویسی کنیم تا بتوانیم ارتباط بین مساحت و مجموع ابعاد را بهتر درک کنیم. معادله اصلی به صورت زیر است:

ab 2a 2b = 140

برای اینکه بتوانیم این معادله را به شکلی قابل مدیریت‌تر تبدیل کنیم، می‌توانیم از تکنیکی استفاده کنیم که به آن “تکمیل ضرب” یا “فاکتورگیری” می‌گویند. با افزودن عدد ۴ به دو طرف معادله، می‌توانیم آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

ab 2a 2b 4 = 140 4

حال می‌توانیم از سمت چپ فاکتور بگیریم:

(a 2)(b 2) = 144

این فرم جدید معادله، رابطه بین ابعاد مستطیل را به شکلی بسیار ساده‌تر نشان می‌دهد. اکنون ما به دنبال مقادیری برای ‘a’ و ‘b’ هستیم که حاصلضرب (a ۲) و (b ۲) برابر با ۱۴۴ شود و در عین حال، حاصلضرب ‘a * b’ (مساحت) را به حداکثر برساند.

یافتن بیشینه مساحت با استفاده از عوامل ۱۴۴

برای حداکثر کردن مساحت ‘a * b’، باید به دنبال مقادیری برای ‘a’ و ‘b’ باشیم که تا حد امکان به هم نزدیک باشند. این اصل در مسائل بهینه‌سازی هندسی بسیار رایج است؛ برای مثال، در بین تمام مستطیل‌هایی با محیط ثابت، مربع بیشترین مساحت را دارد.

در معادله (a ۲)(b ۲) = ۱۴۴، ما به دنبال دو عدد هستیم که حاصلضربشان ۱۴۴ شود. برای اینکه ‘a’ و ‘b’ تا حد امکان به هم نزدیک باشند، باید ‘a ۲’ و ‘b ۲’ نیز تا حد امکان به هم نزدیک باشند. نزدیک‌ترین حالت زمانی است که این دو عامل برابر باشند:

a 2 = b 2

این به معنی آن است که a = b. در این حالت، مستطیل ما یک مربع خواهد بود.

اگر a ۲ = b ۲، آنگاه:

(a 2)^2 = 144

با جذر گرفتن از دو طرف:

a 2 = 12

بنابراین:

a = 10

و چون a = b، پس:

b = 10

در این حالت، مستطیل ما یک مربع با ابعاد ۱۰×۱۰ است. مساحت این مربع برابر است با:

A = a * b = 10 * 10 = 100

محیط این مربع برابر است با:

P = 2 * (10 10) = 2 * 20 = 40

مجموع مساحت و محیط برابر است با: ۱۰۰ ۴۰ = ۱۴۰. این با شرط مسئله مطابقت دارد.

بررسی سایر عوامل ۱۴۴

حال باید بررسی کنیم که آیا با انتخاب عوامل دیگری برای ۱۴۴، می‌توانیم مساحت بیشتری به دست آوریم یا خیر. عوامل ۱۴۴ عبارتند از: (۱, ۱۴۴), (۲, ۷۲), (۳, ۴۸), (۴, ۳۶), (۶, ۲۴), (۸, ۱۸), (۹, ۱۶), (۱۲, ۱۲).

برای هر جفت عامل (x, y) که x * y = ۱۴۴، داریم:

a 2 = x => a = x – 2

b 2 = y => b = y – 2

مساحت برابر است با: A = (x – ۲)(y – ۲)

همانطور که مشاهده می‌شود، با نزدیک شدن عوامل ‘x’ و ‘y’ به یکدیگر (یعنی نزدیک شدن به حالت مربع)، مساحت نیز افزایش می‌یابد. بیشترین مساحت در حالتی به دست می‌آید که عوامل برابر ۱۲ و ۱۲ باشند، که منجر به ابعاد ۱۰×۱۰ و مساحت ۱۰۰ می‌شود.

پاسخ معمای المپیادی

با توجه به تحلیل‌های انجام شده، بیشترین مساحت ممکن برای مستطیلی که مجموع مساحت و محیط آن برابر با ۱۴۰ است، برابر با ۱۰۰ واحد مربع می‌باشد. این حالت زمانی رخ می‌دهد که مستطیل مورد نظر، یک مربع با ابعاد ۱۰×۱۰ باشد.

سوالات متداول