معمای چراغ برق: پیدا کردن حداکثر چراغ خاموش در خیابان

معمای چراغ برق و پاسخ آن، یکی از معماهای جذاب ریاضی و منطقی است که ذهن بسیاری را به چالش می‌کشد. در این معما، با چیدمان خاصی از چراغ‌های برق در دو طرف یک خیابان روبرو هستیم و باید با توجه به محدودیت‌های مشخص شده، حداکثر تعداد چراغ‌های خاموش را محاسبه کنیم. این نوع معماها علاوه بر سرگرمی، به تقویت مهارت‌های حل مسئله و تفکر تحلیلی کمک شایانی می‌کنند.

معمای پیش رو، داستانی از یک خیابان شهری را روایت می‌کند که در آن هجده چراغ برق در دو ردیف نه تایی مقابل هم نصب شده‌اند. فاصله بین هر دو چراغ متوالی پنجاه متر و عرض خیابان ده متر است. نکته کلیدی معما این است که برخی چراغ‌ها خاموش هستند، اما در فاصله کمتر از شصت متر از هر چراغ خاموش، حداکثر سه چراغ خاموش دیگر وجود دارد. سوال اصلی این است که حداکثر چند چراغ می‌تواند خاموش باشد؟

تحلیل معمای چراغ برق

برای حل این معما، ابتدا باید چیدمان چراغ‌ها را به درستی تصور کنیم. هجده چراغ در دو ردیف نه تایی، یعنی هر ردیف شامل ۹ چراغ است که در مقابل هم قرار گرفته‌اند. فاصله ۵۰ متری بین چراغ‌های متوالی در یک ردیف، نشان‌دهنده طول نسبتاً زیاد خیابان است. عرض ۱۰ متری خیابان نیز به درک فضایی معما کمک می‌کند.

شرط کلیدی “در فاصله کمتر از شصت متر از هر چراغ خاموش، حداکثر سه چراغ خاموش دیگر وجود دارد” نکته اصلی برای محدود کردن تعداد چراغ‌های خاموش است. این شرط به ما می‌گوید که چراغ‌های خاموش نمی‌توانند به صورت پراکنده و بدون نظم باشند؛ بلکه باید الگوی خاصی را دنبال کنند تا این محدودیت رعایت شود.

دسته‌بندی چراغ‌ها برای حل معما

یکی از روش‌های مؤثر برای حل این نوع معماها، دسته‌بندی عناصر است. در این معما، می‌توان چراغ‌ها را بر اساس موقعیتشان در ردیف‌ها و فاصله از یکدیگر دسته‌بندی کرد. همانطور که در پاسخ معما نیز اشاره شده، تقسیم چراغ‌ها به سه دسته می‌تواند راهگشا باشد.

فرض کنید هر ردیف ۹ چراغ دارد. اگر این ۹ چراغ را به سه گروه ۳ تایی تقسیم کنیم، یا به روشی دیگر که در ادامه توضیح داده می‌شود، می‌توانیم تحلیل را ساده‌تر کنیم. نکته مهم، در نظر گرفتن فاصله ۶۰ متری است. دو چراغ در یک ردیف که ۵۰ متر از هم فاصله دارند، در محدوده ۶۰ متری یکدیگر قرار می‌گیرند. اما اگر سه چراغ پشت سر هم در یک ردیف باشند (مثلاً چراغ‌های ۱، ۲ و ۳)، چراغ دوم در فاصله ۵۰ متری چراغ اول و دوم در فاصله ۱۰۰ متری چراغ اول قرار دارد. این فاصله ۵۰ متری بین چراغ‌های متوالی، کلید اصلی درک محدودیت‌هاست.

تحلیل شرط حداکثر سه چراغ خاموش در همسایگی

شرط اصلی این است که در فاصله کمتر از ۶۰ متر از هر چراغ خاموش، حداکثر ۳ چراغ خاموش دیگر وجود دارد. این بدان معناست که اگر چراغ شماره X خاموش باشد، چراغ‌های شماره X-۱، X ۱، و حتی چراغ‌های مقابل در ردیف دیگر (با در نظر گرفتن عرض خیابان) باید بررسی شوند. اما تمرکز اصلی بر روی چراغ‌های یک ردیف است.

اگر دو چراغ خاموش متوالی داشته باشیم (مثلاً چراغ‌های ۱ و ۲)، فاصله آن‌ها ۵۰ متر است. هر کدام از این چراغ‌های خاموش، در محدوده ۶۰ متری خود قرار دارند. چراغ خاموش ۱، چراغ خاموش ۲ را در فاصله ۵۰ متری خود دارد. چراغ خاموش ۲ نیز چراغ خاموش ۱ را در فاصله ۵۰ متری خود دارد. این وضعیت مجاز است زیرا هر کدام فقط یک چراغ خاموش دیگر در محدوده ۶۰ متری خود دارند.

حال اگر سه چراغ خاموش متوالی داشته باشیم (چراغ‌های ۱، ۲ و ۳):

• چراغ خاموش ۱: چراغ خاموش ۲ در فاصله ۵۰ متری. (۱ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۲: چراغ خاموش ۱ در فاصله ۵۰ متری و چراغ خاموش ۳ در فاصله ۵۰ متری. (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ در فاصله ۵۰ متری. (۱ چراغ دیگر)

این وضعیت نیز مجاز است.

اگر چهار چراغ خاموش متوالی داشته باشیم (چراغ‌های ۱، ۲، ۳ و ۴):

• چراغ خاموش ۱: چراغ خاموش ۲ در فاصله ۵۰ متری. (۱ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۲: چراغ خاموش ۱ در فاصله ۵۰ متری و چراغ خاموش ۳ در فاصله ۵۰ متری. (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ در فاصله ۵۰ متری و چراغ خاموش ۴ در فاصله ۵۰ متری. (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۴: چراغ خاموش ۳ در فاصله ۵۰ متری. (۱ چراغ دیگر)

این وضعیت نیز مجاز است.

اگر پنج چراغ خاموش متوالی داشته باشیم (چراغ‌های ۱، ۲، ۳، ۴ و ۵):

• چراغ خاموش ۱: چراغ خاموش ۲ در فاصله ۵۰ متری. (۱ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۲: چراغ خاموش ۱ در فاصله ۵۰ متری و چراغ خاموش ۳ در فاصله ۵۰ متری. (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ در فاصله ۵۰ متری، چراغ خاموش ۴ در فاصله ۵۰ متری. (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۴: چراغ خاموش ۳ در فاصله ۵۰ متری و چراغ خاموش ۵ در فاصله ۵۰ متری. (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۵: چراغ خاموش ۴ در فاصله ۵۰ متری. (۱ چراغ دیگر)

این وضعیت نیز مجاز است.

اما نکته ظریف اینجاست: “در فاصله کمتر از ۶۰ متر”. فاصله ۵۰ متر کمتر از ۶۰ متر است. حال اگر به چراغ‌های خاموش در یک ردیف نگاه کنیم:

فرض کنید چراغ‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ خاموش باشند.

• چراغ خاموش ۱: چراغ خاموش ۲ در فاصله ۵۰ متری. (۱ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۲: چراغ خاموش ۱ (۵۰ متر) و چراغ خاموش ۳ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ (۵۰ متر) و چراغ خاموش ۴ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۴: چراغ خاموش ۳ (۵۰ متر) و چراغ خاموش ۵ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۵: چراغ خاموش ۴ (۵۰ متر). (۱ چراغ دیگر)

این تحلیل اولیه درست است. اما معما می‌گوید “حداکثر سه چراغ خاموش دیگر”. این محدودیت باید برای *هر* چراغ خاموش برقرار باشد.

بیایید به مثال ارائه شده در پاسخ معما نگاه کنیم: “اگر در یک دسته بیشتر از ۴ چراغ خاموش باشد، پس یکی از دو چراغ وسطی این آن دسته خاموش است.” این جمله کمی گنگ است، اما منظور این است که اگر یک بلوک طولانی از چراغ‌های خاموش داشته باشیم، باید بررسی کنیم که آیا این بلوک شرط را نقض نمی‌کند.

فرض کنید در یک ردیف، چراغ‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶ خاموش باشند. فاصله بین چراغ ۱ و ۶ برابر با ۵ * ۵۰ = ۲۵۰ متر است.

• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۴ (۵۰ متر).
• چراغ خاموش ۴: چراغ خاموش ۳ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۵ (۵۰ متر).

این همچنان مشکلی ندارد. اما اگر به چراغ خاموش ۳ نگاه کنیم، چراغ خاموش ۱ در فاصله ۱۰۰ متری و چراغ خاموش ۶ در فاصله ۱۵۰ متری قرار دارد. اینها خارج از محدوده ۶۰ متر هستند.

نکته کلیدی اینجاست: “در فاصله کمتر از ۶۰ متر از هر چراغ خاموش حداکثر سه چراغ خاموش دیگر وجود دارد.”

اگر چراغ شماره X خاموش باشد، چراغ‌های خاموش در محدوده (X-50m) تا (X 50m) را باید در نظر گرفت. اگر چراغ‌های X-۱ و X ۱ هم خاموش باشند، این دو در فاصله ۵۰ متری X قرار دارند. اگر چراغ‌های X-۲ و X ۲ هم خاموش باشند، فاصله آن‌ها از X برابر ۱۰۰ متر است که خارج از محدوده ۶۰ متر است.

این بدان معناست که اگر چراغ X خاموش باشد، تنها چراغ‌های خاموش مجاز در همسایگی آن (در همان ردیف) می‌توانند چراغ‌های X-۱ و X ۱ باشند. اگر چراغ X-۲ یا X ۲ هم خاموش باشند، آنگاه چراغ خاموش X دیگر نمی‌تواند وجود داشته باشد، زیرا چراغ خاموش X-۲ در فاصله ۱۰۰ متری و چراغ خاموش X ۲ نیز در فاصله ۱۰۰ متری قرار دارد.

اما شرط می‌گوید “حداکثر سه چراغ خاموش دیگر”. این شامل چراغ‌های مقابل در ردیف دیگر هم می‌شود. با عرض ۱۰ متر، فاصله بین چراغ‌های مقابل حدود ۱۰ متر است که قطعاً کمتر از ۶۰ متر است.

اگر چراغ X خاموش باشد، و چراغ‌های مقابل آن (X’) نیز خاموش باشد، این یک چراغ خاموش دیگر در فاصله ۱۰ متری است. اگر چراغ‌های X-۱ و X’-۱ نیز خاموش باشند، آنگاه چراغ خاموش X در فاصله ۵۰ متری X-۱ و ۱۰ متری X’ قرار دارد. این پیچیدگی‌ها نشان می‌دهد که باید رویکرد ساده‌تری اتخاذ کرد.

راه حل ارائه شده در متن اصلی، تقسیم‌بندی به دسته‌ها و نتیجه‌گیری “حداکثر ۴ چراغ خاموش در هر دسته” است. این نتیجه‌گیری از کجا می‌آید؟

فرض کنید یک “دسته” شامل ۵ چراغ متوالی باشد (مثلاً چراغ‌های ۱ تا ۵). فاصله بین چراغ ۱ و ۵ برابر ۴ * ۵۰ = ۲۰۰ متر است.

اگر چراغ‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ خاموش باشند:

• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۴ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)

اگر چراغ‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶ خاموش باشند:

• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۴ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۴: چراغ خاموش ۳ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۵ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)

این همچنان مجاز است.

اما اگر به متن اصلی برگردیم: “اگر در یک دسته بیشتر از ۴ چراغ خاموش باشد، پس یکی از دو چراغ وسطی این آن دسته خاموش است. توجه کنید از آنجا که این چراغ از پنج چراغ دیگرِ همدسته اش فاصلهای کمتر از ۶۰ متر دارد، با این فرض که در همسایگیِ ۶۰متریِ هر چراغ خاموش حداکثر سه چراغ خاموش دیگر قرار دارد تناقض دارد.”

این جمله به این معنی است که اگر ما ۵ چراغ خاموش متوالی داشته باشیم (مثلاً ۱ تا ۵)، چراغ خاموش شماره ۳ را در نظر بگیرید. چراغ خاموش شماره ۱ در فاصله ۱۰۰ متری و چراغ خاموش شماره ۵ در فاصله ۱۰۰ متری قرار دارد. اینها خارج از محدوده ۶۰ متر هستند. اما چراغ خاموش شماره ۲ در فاصله ۵۰ متری و چراغ خاموش شماره ۴ در فاصله ۵۰ متری قرار دارند. پس چراغ خاموش ۳، دو چراغ خاموش دیگر (۲ و ۴) در فاصله کمتر از ۶۰ متر دارد. این مجاز است.

تناقض زمانی رخ می‌دهد که تعداد چراغ‌های خاموش در یک بلوک طولانی زیاد باشد. اگر فرض کنیم “دسته” به معنای ۵ چراغ متوالی است، و اگر هر ۵ چراغ خاموش باشند:

چراغ خاموش شماره ۳: چراغ خاموش ۲ (۵۰ متر) و چراغ خاموش ۴ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)

این همچنان مجاز است.

اما اگر منظور از “پنج چراغ دیگرِ همدسته اش” این باشد که چراغ خاموش مرکزی (مثلاً چراغ ۳) خودش بخشی از یک گروه ۵ تایی است و باید به چراغ‌های خاموش دیگر در فاصله کمتر از ۶۰ متر از خودش نگاه کند.

اگر چراغ‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ خاموش باشند:

• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۴ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)

اگر چراغ‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶ خاموش باشند:

• چراغ خاموش ۳: چراغ خاموش ۲ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۴ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)
• چراغ خاموش ۴: چراغ خاموش ۳ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۵ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)

اگر چراغ‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷ خاموش باشند:

• چراغ خاموش ۴: چراغ خاموش ۳ (۵۰ متر)، چراغ خاموش ۵ (۵۰ متر). (۲ چراغ دیگر)

این نشان می‌دهد که محدودیت “حداکثر سه چراغ خاموش دیگر” به سادگی با تعداد چراغ‌های خاموش متوالی در یک ردیف مرتبط نیست.

راه حل ارائه شده در متن اصلی، یعنی “حداکثر ۴ چراغ خاموش در هر دسته” و نتیجه‌گیری “حداکثر ۱۲ چراغ خاموش”، بر اساس تقسیم‌بندی ۹ چراغ در هر ردیف به ۳ دسته ۳ تایی یا ۴ تایی است. اگر هر دسته حداکثر ۴ چراغ خاموش داشته باشد، و ما دو ردیف داریم، پس ۲ * ۴ = ۸ چراغ خاموش در هر ردیف. اما این با نتیجه ۱۲ چراغ همخوانی ندارد.

بیایید فرض کنیم “دسته” به معنای گروهی از چراغ‌هاست که به دلیل فاصله ۵۰ متری، در محدوده ۶۰ متری یکدیگر قرار می‌گیرند. چراغ‌های ۱ و ۲ در محدوده هم هستند. چراغ‌های ۲ و ۳ در محدوده هم هستند. چراغ‌های ۱ و ۳ در فاصله ۱۰۰ متری هستند.

اگر ما ۵ چراغ خاموش متوالی داشته باشیم (مثلاً ۱ تا ۵). چراغ خاموش شماره ۳ را در نظر بگیرید. همسایگان آن در فاصله کمتر از ۶۰ متر، چراغ‌های خاموش ۲ و ۴ هستند. پس ۲ چراغ خاموش دیگر در همسایگی ۳ وجود دارد. این مجاز است.</