آموزش نسبت و تناسب و درصد کلاس ششم ؛ روش ساده + ۳۵ تمرین با جواب
نسبت، تناسب و درصد از مهم‌ترین مباحث ریاضی کلاس ششم هستند. دانش‌آموزان علاوه بر امتحانات مدرسه، در خرید، محاسبه تخفیف، خواندن آمار، تهیه مواد غذایی و بسیاری از موقعیت‌های روزانه به این مفاهیم نیاز دارند. در این مطلب، آموزش نسبت و تناسب و درصد کلاس ششم را از مفاهیم پایه شروع می‌کنیم و با مثال‌ها و تمرین‌های جواب‌دار ادامه می‌دهیم.
نسبت و تناسب کلاس ششم؛ نسبت چیست؟
نسبت به ما نشان می‌دهد مقدار یک چیز در مقایسه با چیز دیگر چقدر است. نسبت دو عدد را می‌توان به سه شکل نوشت:
- ۳ به ۵
- ۳:۵
- ۳/۵
مثال: در یک سبد ۴ سیب قرمز و ۶ سیب زرد وجود دارد. نسبت تعداد سیب‌های قرمز به سیب‌های زرد برابر است با:
۴ به ۶ یا ۴/۶
با تقسیم صورت و مخرج بر ۲، نسبت ساده‌شده به دست می‌آید:
۴/۶ = ۲/۳
نکته مهم: ترتیب در نوشتن نسبت اهمیت دارد. نسبت سیب قرمز به زرد ۴ به ۶ است؛ اما نسبت سیب زرد به قرمز ۶ به ۴ خواهد بود.
چگونه یک نسبت را ساده کنیم؟
برای ساده‌کردن نسبت، دو عدد را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها تقسیم می‌کنیم.
مثال: نسبت ۱۸ به ۲۴ را ساده کنید.
بزرگ‌ترین عددی که هم ۱۸ و هم ۲۴ بر آن بخش‌پذیرند، عدد ۶ است:
۱۸ ÷ ۶ = ۳
۲۴ ÷ ۶ = ۴
پس نسبت ساده‌شده برابر ۳ به ۴ است.
نسبت‌های مساوی چه هستند؟
اگر دو عدد یک نسبت را در عددی یکسان ضرب یا بر عددی یکسان تقسیم کنیم، یک نسبت مساوی به دست می‌آید.
۲/۳ = ۴/۶ = ۶/۹ = ۸/۱۲
برای مثال، صورت و مخرج نسبت ۲/۳ را در عدد ۲ ضرب کرده‌ایم و نسبت ۴/۶ به دست آمده است.
تناسب چیست؟
برابر بودن دو نسبت را تناسب می‌گوییم:
۲/۳ = ۸/۱۲
برای بررسی درست بودن یک تناسب می‌توانیم از روش ضرب طرفین و وسطین استفاده کنیم:
۲ × ۱۲ = ۲۴
۳ × ۸ = ۲۴
چون حاصل دو ضرب برابر است، تناسب درست خواهد بود.
طرفین و وسطین در تناسب
در تناسب زیر، عددهای اول و آخر «طرفین» و دو عدد میانی «وسطین» هستند:
۲/۵ = ۶/۱۵
- طرفین: ۲ و ۱۵
- وسطین: ۵ و ۶
در هر تناسب صحیح، حاصل‌ضرب طرفین با حاصل‌ضرب وسطین برابر است.
پیدا کردن عدد مجهول در تناسب
مثال: مقدار مربع را پیدا کنید:
۳/۵ = □/۲۰
راه اول این است که بررسی کنیم عدد ۵ در چه عددی ضرب شده و به ۲۰ رسیده است:
۵ × ۴ = ۲۰
بنابراین باید ۳ را نیز در ۴ ضرب کنیم:
۳ × ۴ = ۱۲
پس عدد مجهول ۱۲ است.
با روش ضرب طرفین و وسطین نیز داریم:
۵ × □ = ۳ × ۲۰
۵ × □ = ۶۰
□ = ۱۲
جدول تناسب کلاس ششم
جدول تناسب یکی از ساده‌ترین راه‌های حل مسائل است. فرض کنید قیمت ۳ دفتر ۹۰ هزار تومان باشد و بخواهیم قیمت ۵ دفتر را پیدا کنیم.
| تعداد دفتر | ۳ | ۱ | ۵ |
|---|---|---|---|
| قیمت به هزار تومان | ۹۰ | ۳۰ | ۱۵۰ |
ابتدا قیمت یک دفتر را محاسبه می‌کنیم:
۹۰ ÷ ۳ = ۳۰ هزار تومان
سپس قیمت ۵ دفتر را به دست می‌آوریم:
۳۰ × ۵ = ۱۵۰ هزار تومان
برای تقویت مهارت‌های محاسباتی می‌توانید آموزش جمع و تفریق فرایندی را نیز مرور کنید.
درصد چیست؟
درصد یعنی نسبتی که مخرج آن ۱۰۰ است. علامت درصد به شکل ٪ نوشته می‌شود.
- ۱٪ یعنی ۱ از ۱۰۰
- ۲۵٪ یعنی ۲۵ از ۱۰۰
- ۵۰٪ یعنی ۵۰ از ۱۰۰ یا نصف
- ۷۵٪ یعنی ۷۵ از ۱۰۰ یا سه‌چهارم
- ۱۰۰٪ یعنی تمام یک مقدار
تبدیل کسر به درصد
برای تبدیل کسر به درصد، باید کسری مساوی با مخرج ۱۰۰ بسازیم.
مثال اول:
۱/۴ = ۲۵/۱۰۰ = ۲۵٪
مثال دوم:
۳/۵ = ۶۰/۱۰۰ = ۶۰٪
اگر نتوانیم مخرج را به‌آسانی به ۱۰۰ تبدیل کنیم، صورت را بر مخرج تقسیم و حاصل را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم:
درصد = (صورت ÷ مخرج) × ۱۰۰
تبدیل عدد اعشاری به درصد
برای تبدیل عدد اعشاری به درصد، آن را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم:
- ۰٫۵ × ۱۰۰ = ۵۰٪
- ۰٫۲۵ × ۱۰۰ = ۲۵٪
- ۰٫۷۵ × ۱۰۰ = ۷۵٪
- ۱٫۲ × ۱۰۰ = ۱۲۰٪
چگونه درصد یک عدد را حساب کنیم؟
برای محاسبه درصدی از یک عدد از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
مقدار درصدی = عدد × درصد ÷ ۱۰۰
مثال: ۲۰ درصد عدد ۱۵۰ چند است؟
۱۵۰ × ۲۰ ÷ ۱۰۰ = ۳۰
بنابراین ۲۰ درصد عدد ۱۵۰ برابر ۳۰ است.
روش سریع محاسبه بعضی درصدها
- برای یافتن ۵۰٪ یک عدد، آن را بر ۲ تقسیم کنید.
- برای یافتن ۲۵٪ یک عدد، آن را بر ۴ تقسیم کنید.
- برای یافتن ۱۰٪ یک عدد، آن را بر ۱۰ تقسیم کنید.
- برای یافتن ۲۰٪ یک عدد، ابتدا ۱۰٪ را پیدا و دو برابر کنید.
- برای یافتن ۵٪ یک عدد، ۱۰٪ آن را بر ۲ تقسیم کنید.
چگونه عدد کل را از روی درصد پیدا کنیم؟
مثال: ۲۵ درصد یک عدد برابر ۲۰ است. آن عدد چند است؟
عدد کل = مقدار داده‌شده × ۱۰۰ ÷ درصد
۲۰ × ۱۰۰ ÷ ۲۵ = ۸۰
پس عدد موردنظر ۸۰ است.
محاسبه تخفیف با درصد
قیمت یک کیف ۴۰۰ هزار تومان است و فروشگاه آن را با ۱۵ درصد تخفیف می‌فروشد.
مقدار تخفیف:
۴۰۰٬۰۰۰ × ۱۵ ÷ ۱۰۰ = ۶۰٬۰۰۰ تومان
قیمت پس از تخفیف:
۴۰۰٬۰۰۰ − ۶۰٬۰۰۰ = ۳۴۰٬۰۰۰ تومان
اشتباه رایج: مقدار تخفیف با قیمت نهایی فرق دارد. ابتدا مقدار تخفیف را پیدا کنید و سپس آن را از قیمت اولیه کم کنید.
کاربرد نسبت و درصد در زندگی روزمره
- محاسبه تخفیف کالاها
- مقایسه تعداد دانش‌آموزان کلاس
- خواندن نمودارها و آمارها
- تغییر مقدار مواد اولیه یک دستور غذا
- محاسبه میزان پیشرفت یک کار
- مقایسه فاصله‌ها روی نقشه
- بررسی درصد پاسخ‌های درست آزمون
مسائل نسبت و درصد معمولاً چندمرحله‌ای هستند. استفاده از شکل، جدول و نوشتن اطلاعات مسئله می‌تواند حل آن‌ها را ساده‌تر کند. آموزش حل مسئله با رسم شکل نیز برای آشنایی با این روش مفید است.
۲۰ تمرین نسبت و تناسب کلاس ششم
- نسبت ۱۲ به ۱۸ را ساده کنید.
- نسبت ۲۵ به ۳۵ را ساده کنید.
- سه نسبت مساوی با ۳/۴ بنویسید.
- آیا نسبت‌های ۴/۶ و ۱۰/۱۵ مساوی‌اند؟
- مقدار مجهول را پیدا کنید: ۲/۵ = □/۲۰
- مقدار مجهول را پیدا کنید: ۷/۹ = ۲۱/□
- مقدار مجهول را پیدا کنید: □/۸ = ۱۵/۴۰
- قیمت ۴ مداد ۶۰ هزار تومان است. قیمت ۷ مداد چقدر است؟
- یک خودرو در ۲ ساعت ۱۶۰ کیلومتر حرکت می‌کند. با همین سرعت در ۵ ساعت چند کیلومتر می‌رود؟
- برای تهیه کیک با ۴ پیمانه آرد، ۲ پیمانه شیر لازم است. برای ۱۰ پیمانه آرد چند پیمانه شیر نیاز داریم؟
- نسبت تعداد کتاب‌های داستان به علمی در یک قفسه ۳ به ۲ است. اگر ۱۲ کتاب علمی وجود داشته باشد، چند کتاب داستان داریم؟
- نسبت دختران به پسران کلاسی ۴ به ۵ است. اگر تعداد دختران ۱۶ نفر باشد، تعداد پسران چند نفر است؟
- از ۲۴ دانش‌آموز، ۱۸ نفر در اردو شرکت کردند. نسبت شرکت‌کنندگان به کل دانش‌آموزان را ساده کنید.
- در یک جعبه ۶ توپ آبی، ۹ توپ قرمز و ۳ توپ سبز است. نسبت توپ‌های آبی به همه توپ‌ها را ساده کنید.
- در تناسب ۵/۸ = ۲۰/۳۲، طرفین و وسطین را مشخص کنید.
- اگر ۶ کیلوگرم میوه ۳۶۰ هزار تومان باشد، یک کیلوگرم آن چقدر قیمت دارد؟
- قیمت ۹ دفتر ۲۷۰ هزار تومان است. با ۴۵۰ هزار تومان چند دفتر می‌توان خرید؟
- نسبت طول به عرض مستطیلی ۵ به ۳ است. اگر عرض ۱۲ سانتی‌متر باشد، طول چقدر است؟
- نسبت آب به شربت ۴ به ۱ است. برای ۳ لیوان شربت چند لیوان آب لازم است؟
- آیا عددهای ۳، ۵، ۱۲ و ۲۰ یک تناسب تشکیل می‌دهند؟
پاسخ تمرین‌های نسبت و تناسب
- ۲/۳
- ۵/۷
- ۶/۸، ۹/۱۲ و ۱۲/۱۶
- بله؛ هر دو برابر ۲/۳ هستند.
- ۸
- ۲۷
- ۳
- ۱۰۵ هزار تومان
- ۴۰۰ کیلومتر
- ۵ پیمانه شیر
- ۱۸ کتاب داستان
- ۲۰ پسر
- ۳/۴
- ۱/۳
- طرفین: ۵ و ۳۲؛ وسطین: ۸ و ۲۰
- ۶۰ هزار تومان
- ۱۵ دفتر
- ۲۰ سانتی‌متر
- ۱۲ لیوان آب
- بله؛ زیرا ۳ × ۲۰ و ۵ × ۱۲ هر دو برابر ۶۰ هستند.
۱۵ تمرین درصد کلاس ششم با جواب
- کسر ۱/۲ را به درصد تبدیل کنید.
- کسر ۳/۴ را به درصد تبدیل کنید.
- کسر ۲/۵ را به درصد تبدیل کنید.
- عدد اعشاری ۰٫۳۵ چند درصد است؟
- عدد اعشاری ۰٫۸ چند درصد است؟
- ۱۰ درصد عدد ۲۷۰ را پیدا کنید.
- ۲۵ درصد عدد ۲۰۰ را پیدا کنید.
- ۴۰ درصد عدد ۳۵۰ را محاسبه کنید.
- ۷۵ درصد عدد ۱۲۰ چند است؟
- ۳۰ درصد یک عدد برابر ۶۰ است. عدد را پیدا کنید.
- ۲۰ درصد یک عدد برابر ۴۵ است. عدد چند است؟
- از ۴۰ سؤال آزمون، دانش‌آموزی به ۳۰ سؤال پاسخ درست داده است. چند درصد پاسخ‌ها درست بوده است؟
- قیمت یک کفش ۸۰۰ هزار تومان است. با تخفیف ۱۰ درصد، قیمت نهایی چقدر می‌شود؟
- در مدرسه‌ای با ۲۴۰ دانش‌آموز، ۶۰ درصد دانش‌آموزان در مسابقه شرکت کردند. چند نفر شرکت کرده‌اند؟
- قیمت کالایی پس از ۲۰ درصد تخفیف، ۴۸۰ هزار تومان شده است. قیمت اولیه چقدر بوده است؟
پاسخ تمرین‌های درصد
- ۵۰٪
- ۷۵٪
- ۴۰٪
- ۳۵٪
- ۸۰٪
- ۲۷
- ۵۰
- ۱۴۰
- ۹۰
- ۲۰۰
- ۲۲۵
- ۷۵٪
- ۷۲۰ هزار تومان
- ۱۴۴ دانش‌آموز
- ۶۰۰ هزار تومان
سؤالات چهارگزینه‌ای نسبت و درصد
۱. نسبت ۱۵ به ۲۵ در ساده‌ترین شکل کدام است؟
- الف) ۵/۳
- ب) ۳/۵
- ج) ۶/۱۰
- د) ۱۵/۱۰
پاسخ: گزینه ب
۲. اگر ۴ دفتر ۸۰ هزار تومان باشد، قیمت ۷ دفتر چقدر است؟
- الف) ۱۲۰ هزار تومان
- ب) ۱۳۰ هزار تومان
- ج) ۱۴۰ هزار تومان
- د) ۱۶۰ هزار تومان
پاسخ: گزینه ج
۳. ۳۵ درصد عدد ۲۰۰ کدام است؟
- الف) ۶۰
- ب) ۷۰
- ج) ۸۰
- د) ۹۰
پاسخ: گزینه ب
۴. کدام کسر برابر ۲۰ درصد است؟
- الف) ۱/۲
- ب) ۱/۴
- ج) ۱/۵
- د) ۲/۵
پاسخ: گزینه ج
اشتباهات رایج دانش‌آموزان
- جابه‌جا نوشتن دو مقدار هنگام تشکیل نسبت
- ضرب یا تقسیم کردن فقط صورت یا فقط مخرج
- اشتباه گرفتن مقدار تخفیف با قیمت نهایی
- فراموش کردن تقسیم بر ۱۰۰ در محاسبه درصد
- استفاده از جمع به جای ضرب در جدول تناسب
- توجه نکردن به واحدهایی مانند تومان، متر و کیلوگرم
روش پیشنهادی برای حل مسائل
- صورت سؤال را آرام و دقیق بخوانید.
- مقدارهای معلوم و مجهول را مشخص کنید.
- ترتیب نسبت‌ها را یکسان نگه دارید.
- در صورت نیاز یک جدول تناسب رسم کنید.
- محاسبات را مرحله‌به‌مرحله انجام دهید.
- واحد پاسخ را بنویسید.
- در پایان، منطقی بودن جواب را بررسی کنید.
جمع‌بندی
نسبت برای مقایسه دو مقدار، تناسب برای نشان دادن برابری دو نسبت و درصد برای بیان یک نسبت از ۱۰۰ به کار می‌رود. اگر دانش‌آموز ابتدا نسبت‌های مساوی و جدول تناسب را خوب یاد بگیرد، حل مسائل درصد نیز برای او بسیار ساده‌تر خواهد شد. تمرین روزانه چند مسئله کوتاه، بهترین روش برای تسلط بر این مبحث است.
سؤالات متداول
فرق نسبت و کسر چیست؟
کسر معمولاً بخشی از یک کل را نشان می‌دهد؛ اما نسبت برای مقایسه دو مقدار به کار می‌رود. بااین‌حال، هر دو را می‌توان به شکل صورت و مخرج نوشت.
چگونه بفهمیم دو نسبت متناسب هستند؟
حاصل‌ضرب طرفین و وسطین را حساب می‌کنیم. اگر دو حاصل برابر باشند، نسبت‌ها یک تناسب تشکیل می‌دهند.
ساده‌ترین راه محاسبه درصد چیست؟
عدد موردنظر را در درصد ضرب و حاصل را بر ۱۰۰ تقسیم کنید. برای درصدهای پرکاربرد مانند ۱۰، ۲۵ و ۵۰ درصد می‌توان از تقسیم مستقیم نیز استفاده کرد.
آیا درصد می‌تواند بیشتر از ۱۰۰ باشد؟
بله. درصد بیشتر از ۱۰۰ یعنی مقدار موردنظر از مقدار مبنا بیشتر است؛ برای مثال ۱۵۰ درصد عدد ۲۰ برابر ۳۰ است.
منابع:
کتاب ریاضی پایه ششم دبستان، سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی؛ پایگاه رسمی کتاب‌های درسی وزارت آموزش‌وپرورش؛ محتوای آموزشی بر اساس سرفصل نسبت، تناسب و درصد ریاضی ششم.
